Vektoren

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, welcher eine Länge (auch Betrag genannt) und eine Richtung besitzt. Er beschreibt eine Bewegung bzw. eine Verschiebung im Raum und wird nicht durch seinen Ort definiert. Haben zwei Vektoren dieselbe Länge, dieselbe Orientierung und sind parallel zueinander, handelt es sich um denselben Vektor.

Vektoren werden häufig verwendet um Geschwindigkeiten, Kraft oder Verschiebungen im Raum zu beschreiben und werden oft durch einen Pfeil über einem Buchstaben dargestellt. Die einzelnen Zahlen eines Vektors werden Komponenten genannt.

Ein Vektor besteht aus den folgenden Eigenschaften.

• Betrag (Länge)

• Richtung

• Dimension

Betrag

Der Betrag eines Vektors gibt die Länge des Vektors an und ist immer eine nicht-negative Zahl.

Der Betrag eines Vektors wird aus der Wurzel des Skalarprodukts berechnet.

Richtung

Die Richtung eines Vektors gibt an, wohin der Vektor „zeigt“, z.B. in welche Richtung eine Kraft wirkt oder sich ein Objekt bewegt.

Dimension

Vektoren können in verschiedenen Dimensionen existieren. Ein Vektor in einer zweidimensionalen Ebene (2D) hat zwei Komponenten (z.B. und ), während ein Vektor in einem dreidimensionalen Raum (3D) drei Komponenten hat (z.B. , und ).

Nullvektor

Addition und Subtraktion von Vektoren

Die Komponenten werden Zeile für Zeile addiert bzw. subtrahiert.

Skalare Multiplikation

Ein Vektor kann mit einem Skalar (einem einzigen Wert) multipliziert werden, wodurch sich die Länge des Vektors ändert, seine Richtung jedoch gleich bleibt. Ist der Skalar negativ, kehrt sich die Richtung um.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine einzige Zahl und ergibt sich aus der Multiplikation der Zeilen zweier Vektoren und dem anschließenden Addieren der Produkte.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt oder auch Vektorprodukt ergibt sich aus der Multiplikation von zwei Vektoren und ist selbst wieder ein Vektor mit derselben Anzahl an Komponenten. Die Berechnung des Kreuzprodukts ist jedoch etwas komplizierter als das Skalarprodukt und wird durch die folgende Formel berechnet.